Question

如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=

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5

（不需证明）．
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer 1

分析：（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明；
（3）图3中的结论是PR-PQ=

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5

．

解答：解：（2）图2中结论PR+PQ=

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5

仍成立．
证明：连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，
又∵CD=AB=3，BC=4，
∴BD=

CD2+BC2

=

32+42

=5．
∵S_△BCD=

1

2

BC•CD=

1

2

BD•CK，
∴3×4=5CK，
∴CK=

12

5

．
∵S_△BCE=

1

2

BE•CK，S_△BEP=

1

2

PR•BE，
S_△BCP=

1

2

PQ•BC，且S_△BCE=S_△BEP+S_△BCP，
∴

1

2

BE•CK=

1

2

PR•BE+

1

2

PQ•BC，
又∵BE=BC，
∴

1

2

CK=

1

2

PR+

1

2

PQ，
∴CK=PR+PQ，
又∵CK=

12

5

，
∴PR+PQ=

12

5

；


（3）过C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，连接BP，
S_△BPE-S_△BCP=S_△BEC，S_△BEC是固定值，
BE=BC为两个底，PR，PQ 分别为高，图3中的结论是PR-PQ=

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5

．

点评：本题考查了矩形的性质及勾股定理，难度适中，关键是掌握好矩形的性质．