Question

如图所示，在△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG=BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF=CD，连接AF、AG．

(1)补全图形；

(2)AF与AG的大小关系如何?证明你的结论；

(3)F、A、G三点的位置如何?证明你的结论．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)补全的图形如图所示． (2)AF=AG 在△ADF和△BDC中， ∴△ADF≌△BDC(SAS)，∴AF=BC． 同理可证：△AGE≌△CBE(SAS)， ∴AG=BC． ∴AF=AG． (3)F、A、G三点共线， 由(2)知△ADF≌△BDC，△AGE≌△CBE． ∴∠FAB=∠ABC，∠GAE=∠ACB． 又∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°． ∴∠BAC＋∠FAB＋∠GAE=180°． ∴F、A、G三点共线．

提示：

如果利用已知条件，直接证包含AF、AG的两个三角形全等，不太容易，可利用第三量BC沟通AF、AG之间的关系．利用∠FAB＋∠BAC＋∠CAG=180°，可证得F、A、C三点共线，也可利用AF∥BC，AG∥BC，结合平行公理的平行线唯一性，证得A、F、G三点共线．