Question

如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y＝ax²＋c与x轴正半轴交于点F(16，0)、与y轴正半轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；

(1)求拋物线的函数表达式；

(2)如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合)．设点A的坐标为(m，n)(m＞0)．①当PO＝PF时，分别求出点P和点Q的坐标；②在①的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；③当n＝7时，是否存在m的值使点P为AB边中点．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

@@[解](1)由拋物线y＝ax2＋c经过点E(0，16)、F(16，0)得：，解得a＝－，c＝16， 　　∴y＝－x2＋16； @@(2)①过点P做PG^ x轴于点G，∵PO＝PF，∴OG＝FG，∵F(16，0)，∴OF＝16， 　　∴OG＝OF＝´ 16＝8，即P点的横坐标为8，∵P点在拋物线上， 　　∴y＝－´ 82＋16＝12，即P点的纵坐标为12，∴P(8，12)， 　　∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，∴Q点的纵坐标为－4， 　　∵Q点在拋物线上，∴－4＝－x2＋16，∴x1＝8，x2＝－8， 　　∵m＞0，∴x2＝－8(舍去)，∴x＝8，∴Q(8，－4)； 　　②8－16＜m＜8； 　　③不存在； 　　理由：当n＝7时，则P点的纵坐标为7，∵P点在拋物线上，∴7＝－x2＋16， 　　∴x1＝12，x2＝－12，∵m＞0，∴x2＝－12(舍去)，∴x＝12，∴P点坐标为(12，7)， 　　∵P为AB中点，∴AP＝AB＝8，∴点A的坐标是(4，7)，∴m＝4， 　　又∵正方形ABCD边长是16，∴点B的坐标是(20，7)， 　　点C的坐标是(20，－9)，∴点Q的纵坐标为－9，∵Q点在拋物线上， 　　∴－9＝－x2＋16，∴x1＝20，x2＝－20，∵m＞0，∴x2＝－20(舍去)，x＝20， 　　∴Q点坐标(20，－9)，∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾， 　　∴当n＝7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点．