Question

如图，已知A（3，0），B，动点P、Q同时从O、B两点出发，分别沿OA、BO方向匀速移动，它们的速度均为每秒1个单位，当点P到达点A时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）设△OPQ的面积为y个平方单位，求y与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，QP²有最小值？最小值是多少？
（3）是否存在某个时刻t，能使△OPQ的面积为个平方单位？若存在，求出相应的t值，并判断△OPQ的形状；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知条件表示出QC、OP的长，然后表示出三角形的面积即可；
（2）在直角三角形利用勾股定理求得QP的平方，然后利用配方法求得其最小值即可；
（3）表示出三角形BPQ的面积，然后利用直角三角形的性质求出相应的时间即可．
解答：解：（1）如图，过点B作BM⊥OA于点M，在Rt△QOM中，
，
所以∠BOA=60°．又OP=t，BQ=t，则QO=3-t，…（3分）
过点Q作QC⊥OA于点C，则在Rt△QOC中，，
所以．               …（5分）

（2）在Rt△QOC中，
在Rt△QPC中，，PC²+QC²=QP²，
∴=…（8分）
∵，∴当时，QP²有最小值，最小值是．…（10分）

（3）∵，
∴，即t²-3t+2=0，
解得t₁=1，t₂=2经检验，t₁、t₂都符合题意．
故存在某个时刻即当 t=1s或t=2s时，能使△OPQ的面积为．…（12分）
①当t=1时，OP=1，QO=2，则 ，所以点P与点C重合，因此△OPQ为直角三角形；
②当t=2时，OP=2，QO=1，则QP²=3×2²-9×2+9=3，所以QO²+QP²=OP²，因此△OPQ为直角三角形．
综上，当t=1s或t=2s时，△OPQ为直角三角形．      …（14分）
点评：本题主要考查了二次函数的最值、直角三角形的判定、图形面积的求法、勾股定理以及二次函数的应用等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法．