Question

【题目】如图1，在矩形中，，点是线段上的一个动点，以点为圆心，为半径作，连接.

（1）当经过的中点时，的长为_ ；

（2）当平分时，判断与的位置关系.说明理由，并求出的长；

（3）如图2，当与交于两点，且时，求点到的距离．

Answer 1

【答案】（1）；（2）与相切，理由见解析，的长为；（3）．

【解析】

（1）根据经过的中点，得到PC=2PD，再利用勾股定理即可求出PC的值；

（2）根据角平分线的性质即可得到与相切，根据锐角三角形函数的定义得到，在中，表达出，列出方程即可求出PD的值；

（3）如图2，过点作于，连接，由（2）可知，表达出AP，PH，利用垂径定理即可求出PD和PH．

解：（1）∵当经过的中点，

∴PC=2PD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，DC=AB=9，

∴在Rt△PCD中，PD2+DC2=PC2，

即，

解得：PD=，

∴PC=2PD=，

故答案为：．

∴sin∠PCD=，

（2）与相切，

理由如下：

如图1，过点作于点．

平分，

，

与相切于点．

四边形是矩形，

在中，，

，

设半径为，

则，．

在中，

，即的长为．

（3）如图2，过点作于，连接．由（2）可知：

在中，

设半径为，

则．

在中，

在中，

(舍)．

，

，

即点到的距离为．