Question

 二次函数y=

2

3

x²的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₄在y轴的正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₄在二次函数y=

2

3

x²位于第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄都为等边三角形，则△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄的边长=

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质

专题：规律型

分析：设△A₀B₁A₁的边长为a，根据等边三角形的性质表示出点B₁的坐标，然后代入二次函数解析式解方程即可得到a的值，同理求出△A₁B₂A₂的边长b，△A₂B₃A₃的边长c，…，不难发现，等边三角形的边长等于它相应的序数，然后写出即可．

解答：解：设第一个等边三角形的边长为a，
∵△A₀B₁A₁是等边三角形，
∴点B₁的横坐标为

3

2

a，纵坐标为

1

2

a，
∴B₁（

3

2

a，

1

2

a），
∵B₁在二次函数y=

2

3

x²位于第一象限的图象上，
∴

2

3

×（

3

2

a）²=

1

2

a，
解得a=1，
∴△A₀B₁A₁的边长为1，
同理，设△A₁B₂A₂的边长为b，
则B₂（

3

2

b，

1

2

b+1），
代入二次函数解析式得，

2

3

×（

3

2

b）²=

1

2

b+1，
解得b=2，b=-1（舍去），
所以，△A₁B₂A₂的边长为2，
设△A₂B₃A₃的边长c，则B₃（

3

2

c，

1

2

c+1+2），
代入二次函数解析式得，

2

3

×（

3

2

c）²=

1

2

c+1+2，
解得c=3，c=-2（舍去），
所以，△A₂B₃A₃的边长为3，
…，
以此类推，等边三角形的边长等于它相应的序数，
所以，△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄的边长=2014．
故答案为：2014．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质表示出点B系列的坐标是解题的关键，也是本题的难点．