Question

【题目】（1）请你根据下面画图要求，在图①中完成画图操作并填空．

如图①，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，∠PAM=∠A．

操作：（1）延长BC．

（2）将∠PAM绕点A逆时针方向旋转60°后，射线AM交BC的延长线于点D．

（3）过点D作DQ∥AB．

（4）∠PAM旋转后，射线AP交DQ于点G．

（5）连结BG．

结论：= ．

（2）如图②，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=36°，进行如下操作：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α度角，并使各边长变为原来的n倍（n＞1），得到△AB′C′．当点B、C、B′在同一条直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形时（如图③），求a和n的值．

Answer 1

【答案】(1);(2)72°;2.62.

【解析】

试题分析：（1）根据旋转得出△ABC～△AGD，设AB为2，根据30°的直角三角形的性质得出AD=2，进一步得出AG=4，可得；

（2）由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得a=36°，又由△ABC∽△AB′C′，根据相似三角形的对应边成比例，继而求得答案．

试题解析：（1）如图：

∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，

∴∠PAM=∠A=30°，

∵∠PAM绕点A逆时针方向旋转60°，

∴∠BAG=60°，△ABC～△AGD，

∴∠GAD=∠BAC=∠MAG=30°，

∴△BAD是Rt△，∠ABD=60°，

∴∠ADB=30°，

设AB为2，则可得AD=，

∵DQ∥AB，∠BAD=90°

∴∠ADG=90°，

∵∠GAD=30°，AD=，

∴AG=4，

∴；

（2）∵四边形ABB′C′是平行四边形，

∴AC′∥BB′，

又∵∠BAC=36°，AB=AC

∴∠ABC=72°．

∴∠B′AC′=∠BAC=36°，

∴∠CAB′=36°，

∴α=180°-72°-36°=72°；

∴∠B′AC′=∠BAC=36°，而∠B=∠AB′C′，

∴△ABC∽△AB′C′，

∴AB：BB′=CB：AB，

∴AB2=CBAB′，

而 AB=1，

BC=2ABsin18°≈0.618，

所以可得n=．