Question

如图，已知抛物线y=

1

2

x2+mx-2与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于点C，且BC∥x轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的上方），DE=

2

，过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当（2）中的线段DE在移动过程中，四边形DEGF能否成为菱形？若能，请求出相应x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的解析式知：点C的纵坐标为-2，而BC∥x轴，那么点B的纵坐标也为-2，根据直线AB的解析式即可确定B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，可求得m的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）过D作DM⊥EG于M，易知∠EDM=45°，那么DM=1，可设出点D的横坐标，进而根据DM的长表示出E点的横坐标，由直线AB和抛物线的解析式可求得D、E、F、G的纵坐标，从而得到DF、EC的长，由于四边形ECFD是个梯形，那么根据梯形的面积公式即可得到y、x的函数关系式．
（3）若四边形EGFD是菱形，首先应该满足四边形EGFD是个平行四边形，那么EG=DF，可根据（2）题得到的两条线段的表达式，列方程求出点DF、CE的长，然后判断DF是否与DE相等即可．

解答：解：（1）易知C（0，-2），则B点的纵坐标也为-2；
由于点B在直线y=x上，则B（-2，-2），代入抛物线的解析式中，可得：

1

2

×（-2）²-2m-2=-2，
解得m=1；
故：y=

1

2

x2+x-2；

（2）过D作DM⊥EG于M；
△DEM中，DE=

2

，∠EDM=45°，则DM=1；
设D（x，x），则E（x+1，x+1），
F（x，

1

2

x²+x-2），G（x+1，

1

2

（x+1）²+（x+1）-2）；
故DF=x-（

1

2

x²+x-2）=2-

1

2

x²，
EG=（x+1）-[

1

2

（x+1）²+（x+1）-2]=2-

1

2

（x+1）²；
则y=

1

2

（DF+EG）×DM=

1

2

[2-

1

2

x²+2-

1

2

（x+1）²]×1，
整理得：y=-

1

2

x2-

1

2

x+

7

4

，
x的取值范围是-2＜x＜1．

（3）四边形DEGF不能成为菱形，理由如下：
若四边形DEGF是菱形，则四边形DEGF必须是个平行四边形，得：
DF=EG，
即2-

1

2

x²=2-

1

2

（x+1）²；
解得x=-

1

2

，
则DF=EG=

15

8

≠DE；
故四边形DEGF不可能成为菱形．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、菱形的判定方法等知识，难度适中．