题目内容
【题目】小明对教材“课题学习”中的“用一张正方形折出一个正八边形”的问题进行了认真地探索．他先把正方形
沿对角线
对折，再把
对折，使点
落在上，记为点
．然后沿
的中垂线折叠，得到折痕
，如图1，类似地，折出其余三条折痕
，得到八边形
，如图2．
（1）求证：
是等腰直角三角形．
（2）若
，求的长．（用含
的代数式表示）
（3）我们把八条边长相等，八个内角都相等的八边形叫做正八边形，试说明八边形是正八边形，请把过程补充完整．
解：理由如下：
①
同理可得：
②
同理可得：
∴八边形是正八边形．
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）①答案见解析；②答案见解析
【解析】
（1）由折叠的性质可得出∠CQP=∠CPQ=45°，则结论得证；
（2）证明四边形CQEP是正方形，则PQ=CE，可得出AC=
a，由折叠的性质知AE=AB=a，得出CE=a-a，则答案可求出；
（3）由等腰直角三角形可得
，通过解直角三角形可得
，从而求解．
解：（1）由题意得：
为正方形
的对角线，
是等腰直角三角形
（2）连接
．有折叠可知：
是等腰直角三角形
，且
四边形
是正方形，
在正方形中，
，由折叠可知：
∴
（3）①是等腰直角三角形；
同理可得：
②设
，由题（2）可知：；
是等腰直角三角形
，同理可得：
同理可得：
∴八边形
是正八边形
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