题目内容

如图，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与抛物线y=ax²（a＜0）交于A、B两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA=OB=2 $数学公式$ （如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，将三角板绕点O旋转任意角度时，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试求出该点的坐标．

解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵OA=OB=2 $\text{[math]}$ ，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，∴B（2，-2），
将B（2，-2）代入抛物线y=ax²（a＜0）得，a=- $\text{[math]}$ ．

（2）过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，∴B （1，- $\text{[math]}$ ），
设A（-m，- $\text{[math]}$ m²）（m＞0），则
OB²=1²+（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，OA²=m²+ $\text{[math]}$ m⁴，AB²=（1+m）²+（- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ m²）²，
∵∠AOB=90°，∴AB²=OA²+OB²，
∴（1+m）²+（- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ m²）²=m²+ $\text{[math]}$ m⁴+ $\text{[math]}$ ，
解得：m=0（不合题意舍去）或m=4，即点A的横坐标为-4．

（3）解法一：设A（-m，- $\text{[math]}$ m²）（m＞0），B（n，- $\text{[math]}$ n²）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则 $\text{[math]}$ ，
①×n+②×m得，（m+n）b=- $\text{[math]}$ （m²n+mn²）=- $\text{[math]}$ mn（m+n），
∴b=- $\text{[math]}$ mn，
由前可知，OB²=n²+ $\text{[math]}$ n⁴，OA²=m²+ $\text{[math]}$ m⁴，AB²=（n+m）²+（- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ n²）²，
由AB²=OA²+OB²，得：n²+ $\text{[math]}$ n⁴+m²+ $\text{[math]}$ m⁴=（n+m）²+（- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ n²）²，
化简，得mn=4．

∴b=- $\text{[math]}$ ×4=-2．由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），

解法二：设A（-m，- $\text{[math]}$ m²）（m＞0），B（n，- $\text{[math]}$ n²）（n＞0），
直线AB与y轴的交点为C，根据S_△AOB=S_梯形ABFE-S_△AOE-S_△BOF=S_△AOC+S_△BOC，可得
$\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ n²）（m+n）- $\text{[math]}$ m× $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ n× $\text{[math]}$ n²= $\text{[math]}$ CO•m+ $\text{[math]}$ CO•n
化简，得CO= $\text{[math]}$ mn，
由前可知，OB²=n²+ $\text{[math]}$ n⁴，OA²=m²+ $\text{[math]}$ m⁴，AB²=（n+m）²+（- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ n²）²，
由AB²=OA²+OB²，得：n²+ $\text{[math]}$ n⁴+m²+ $\text{[math]}$ m⁴=（n+m）²+（- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ n²）²，
化简，得mn=4．
∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．
分析：（1）根据抛物线的对成性，先求出B点坐标，代入抛物线y=ax²（a＜0）得a的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可利用AB²=OA²+OB²，求出点A的横坐标．
（3）首先设A（-m，- $\text{[math]}$ m²）（m＞0），B（n，- $\text{[math]}$ n²）（n＞0），表示出直线AB解析式中b=- $\text{[math]}$ mn，再利用勾股定理得出mn=4，进而得出直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．
点评：此题考查了抛物线的对称性和勾股定理以及一元二次方程解法，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．