Question

如图，将一把直角三角板的直角顶点放置于原点O，两直角边与抛物线交于M、N两点，设M、N的横坐标分别为m、n（m﹥0，n﹤0）；请解答下列问题：
【小题1】当m=1时，n=__ ▲ ； 当m=2时，n=__ ▲ 试猜想m与n满足的关系，并证明你猜想的结论。
【小题2】连接M、N，若△OMN的面积为S，求S关于m的函数关系式。
【小题3】当三角板绕点O旋转到某一位置时，恰好使得∠MNO=30°，此时过M作MA⊥x轴，垂足为A，求出△OMA的面积
【小题4】当m=2时，抛物线上是否存在一点P使M、N、O、P四点构成梯形，若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

【小题1】当m=1时，n= -1；（1分）当m=2时，n=；（1分）
m与n满足的关系：   （1分）
证明：作NB⊥x轴，垂足为B，则△OMA∽△NOB；∵M（） N ∴
整理得：   （1分）
【小题2】S=====    （2分）
（注：还有其他方法）
【小题3】∵∠MNO=30°，∴  又∵△OMA∽△NOB，∴    （1分）
将代入得               （1分）
∴△OMA的面积===       （1分）
【小题4】       （3分）解析:
(1)作NB⊥x轴，垂足为B，利用△OMA∽△NOB，推出；
（2）根据三角形的面积公式及（1）的结论得出S关于m的函数关系式；
（3）利用△OMA∽△NOB算出的值，然后根据三角形面积公式得出结果；
（4）P点有三种可能，PO∥MN,PN∥OM,PM∥NO，利用平行线计算出P点的坐标.