题目内容

已知一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y₂= $数学公式$ 的图象相交于A、B两点，坐标分别为（-2，4）、（4，-2）．
（1）求两个函数的解析式；
（2）结合图象写出y₁＜y₂时，x的取值范围；
（3）求△AOB的面积；
（4）是否存在一点P，使以点A﹑B﹑O﹑P为顶点的四边形为菱形？若存在，求出顶点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）分别把点A（-2，4），点B（4，-2）代入解析式中，得
k=-8，即双曲线解析式为y=- $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
∴直线解析式为y=-x+2；

（2）当-x+2=- $\text{[math]}$ 时，
整理，得
x²-2x-8=0
解得x₁=-2，x₂=4
即点A（-2，4），点B（4，-2）
当y₁＜y₂时，-2＜x＜0或x＞4．

（3）当x=0时，y=-x+2=2，即
OC=2
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ 2+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ 4=6．

（4）存在．
若四边形OAPB是菱形，则AB，OP互相垂直平分，即点M既是AB的中点，又是OP的中点．

∵点A是（-2，4），点B是（4，-2）
∴点M的坐标是（1，1）
∴点P的坐标是（2，2）．
分析：（1）直接利用待定系数法可分别求得两个函数的解析式；
（2）利用（1）中的解析式联立方程组，即可求得交点坐标，结合图形可写出x的取值范围；
（3）把△AOB的面积分为两部分，即S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC；
（4）利用菱形的性质，根据线段的中点横坐标是两个端点横坐标的和的一半，纵坐标也是两个端点纵坐标和的一半，即可求解．
点评：此题主要考查反比例函数的性质和三角形以及菱形相结合的综合性知识．通过解方程组求出交点坐标，知道线段的中点坐标与两个端点之间的关系是解题的关键．