Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．

（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；

（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．

【解析】

（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；

（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴，解得，

∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图，连接PC，PE．

抛物线的对称轴为x＝＝1．

当x＝1时，y＝4，

∴点D的坐标为（1，4）．

设直线BD的解析式为y＝kx+b，

则，

解得．

∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，

设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），

则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

∵PC＝PE，

∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

解得，x＝2，

则y＝﹣2×2+6＝2，

∴点P的坐标为（2，2）．