Question

20．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别为BC、AC上一点，且BD=CE，AD交BE于F．
（1）求证：AD=BE；
（2）若∠CFE=30°，求$\frac{BD}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质得出AB=BC，∠ABD=∠C=60°，再根据SAS可得△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）由△ABD≌△BCE，可证得∠BAD=∠CBE，进一步得到∠EAF=∠ABE，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△AEF∽△ABE．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）如图，连接DE，

由（1）得：∠1=∠2，
∴∠AFE=∠1+∠3=∠2+∠3=60°，
∵∠ACD=60°，
∴∠AFE=∠ACD，
∵∠FAE=∠CAD，
∴∵△AFE∽△ACD，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∵∠FAC=∠EAD，
∴△FAC∽△EAD，
∴∠AFC=∠AED，
∵∠AFC=∠AFE+∠CFE=60°+30°=90°，
∴∠AED=90°，
∴CED=90°，
∵∠DCE=60°，
∴∠CDE=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD，
∵BD=CE，
∴BD=$\frac{1}{2}$CD，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；三条边相等分析．