题目内容

如图，已知抛物线y=mx2+（3-m）x+m2+m交x轴于C（x1，0），D（x2，0）两点，（x1＜精英家教网x2）且（x1+1）（x2+1）=5
（1）试确定m的值；
（2）过点A（-1，-5）和抛物线的顶点M的直线交x轴于点B，求B点的坐标；
（3）设点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点（含C、M点），△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR．设△PQR的面积为S，求S与a之间的函数关系式．
分析：（1）用m表示出二次函数两个根的和、积，代入等式（x1+1）（x2+1）=5，并结合△=（3-m）2-4m（m2+m）＞0，解出即可；
（2）由抛物线的解析式得出顶点坐标，又∵A（-1，-5），用待定系数法可求出直线的解析式，令y=0，即可求出x，得点B的坐标；
（3）点P（a，b），根据题意得，Q点坐标为（2a，0），由直线的解析式得，点R的坐标为（2a，6a-2），过点P作PN⊥RQ于点N，则RQ=|6a-2|，PN=|a|，所以，S=
1
2
RQ•PN=
1
2
|6a-2||a|，分类讨论解答出即可．
解答：精英家教网解：（1）因为抛物线y=mx2+（3-m）x+m2+m交x轴于C（x1，0），D（x2，0）两点（x1＜x2）且（x1+1）（x2+1）=5，
∴m≠0
∵x1+x2=
m-3
m
，x1x2=
m2+m
m
，且△=（3-m）2-4m（m2+m）＞0，
又∵x1x2+x1+x2+1=5，
∴
m2+m
m
+
m-3
m
+1=5，
解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合题意，故舍去，
∴m=-1；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+4x，
∴顶点M的坐标为（2，4）．如图，
设直线AM的解析式为y=kx+b，
∵A（-1，-5），
则有
-5=-k+b
4=2k+b
，
解得
k=3
b=-2
，
∴y=3x-2，
当y=0时，x=
2
3
，
∴B点的坐标为（
2
3
，0）；

（3）依题意，点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点，
∴0＜a≤2，
∴Q点坐标为（2a，0），
由（2）知直线AM为y=3x-2，
∴当x=2a时，y=6a-2，
∴点R的坐标为（2a，6a-2），
过点P作PN⊥RQ于点N，
∵RQ=|6a-2|，PN=|a|，
∴S=
1
2
RQ•PN=
1
2
|6a-2|•|a|，
当0＜a＜
1
3
时，S=
1
2
(2-6a)•a=-3a2+a，
当a=
1
3
时，△PQR不存在；
当
1
3
＜a≤2时，S=
1
2
(6a-2)•a=3a2-a．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、解析式和三角形的面积求法等；在求有关动点问题时要注意分析题意、分情况讨论结果．
练习册系列答案
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如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
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（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
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（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
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①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
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如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件
-2＜x＜0
-2＜x＜0
时，y＜-3；
     ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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