Question

如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=在第一象限相交于点C；以AC为斜边、为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C,P在以B为顶点的抛物线y=上；直线y=hx+d、双曲线y=和抛物线同时经过两个不同的点C，D。

（1）确定t的值

（2）确定m , n , k的值

（3）若无论a , b , c取何值，抛物线都不经过点P，请确定P的坐标

Answer 1

解：

（1）直线过点A，B，则0=－h+d和1=d,即y=x+1.

双曲线y=经过点C（x₁，y₁），x₁y₁=t．

      以AC为斜边，∠CAO为内角的直角三角形的面积为×y₁×(1+x₁);

以CO为对角线的矩形面积为x₁y_1，

×y₁×(1+x₁)＝x₁y₁，因为x₁，y₁都不等于0，故得x₁＝1，所以y₁=2.

故有，，即t=2.

（2）∵B是抛物线y＝mx²＋nx＋k的顶点，∴有－ ，

得到n=0，k=1.

∵C是抛物线y＝mx²＋nx＋k上的点，∴有2＝m(1)²+1,得m=1．

（3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p²+1.

∵抛物线y=ax²+bx+c经过两个不同的点C，D，

其中求得D点坐标为（－2，－1）．

解法一：

故 2＝a＋b＋c，

－1＝4a－2b＋c．    

解之得，b＝a＋1, c＝1－2a.

（说明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后续参照得分）

∴y=ax²＋( a＋1)x＋（1－2a ）       

于是：  p²+1≠a p²＋（a＋1）p＋（1－2a）

∴无论a取什么值都有p²－p≠（p²＋p－2）a．源:学+科+网Z+X+X+K]

（或者，令p²-p=(p²+p-2)a

∵抛物线y=ax²+bx+c不经过P点，

∴此方程无解，或有解但不合题意 

．

故∵a≠０，∴①

解之p＝0，p＝1，并且p≠1，p≠－2.得p＝0.

∴符合题意的P点为（0，1）.

②，解之p＝1，p＝－2，并且p≠0，p≠1.

得p＝－2.

符合题意的P点为（－2，5）．

∴符合题意的P点有两个（0，1）和（－2，5）.

解法二：

则有（a－1）p²+(a+1) p－2a=0

即〔（a－1）p+2a〕(p－1)=0

有p－1=0时，得p=1，为（1，2）此即C点，在y=ax²+bx+c上.

或（a－1）p+2a=0，即（p+2）a=p

当p=0时a=0与a≠0矛盾

得点P（0，1）

或者p=－2时，无解来源:学科网]

得点P（－2，5）

故对任意a，b，c，抛物线y=ax²+bx+c都不经过（0，1）和（－2，5）

解法三：

如图, 抛物线y=ax²+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点．

(只经过直线CD上的C，D点).

由

解得交点为C（1，2），B（0，1）．

故符合题意的点P为（0，1）.

抛物线y=ax²+bx+c不经过直线x＝－2上除D外的其他点.

由

解得交点P为（－2，5）．……11分

抛物线y=ax²+bx+c不经过直线x＝1上除C外的其他点,

而解得交点为C（1，2）.

故符合条件的点P为（0，1）或（－2，5）.