题目内容

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是

A.
①②③
B.
①④⑤
C.
①③④
D.
③④⑤

B
分析：解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；
判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE= $\text{[math]}$ DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4 $\text{[math]}$ ，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．
解答：

解：连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形．
因此①正确．
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
因此②错误．
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF∴S_{四边形CEFD}=S_△AFC，
因此④正确．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF= $\text{[math]}$ BC=4．
∴DE= $\text{[math]}$ DF=4 $\text{[math]}$ ；
因此③错误．
当△CEF面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．
此时S_△CEF=S_{四边形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8；
因此⑤正确．
故选B．
点评：本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些．