题目内容

求所有的实数m，使得关于x的方程 $数学公式$ 有且只有整数根．

解：由题意，得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ；
又由原方程，得
mx²+（3m+2）x+2m-1=0 ①
当m=0时，x= $\text{[math]}$ ，不合题意（因为分母2x-1≠0）；
当m≠0时，设x₁、x₂（x₁≤x₂）是方程①的两个整数根，由韦达定理，得
x₁+x₂=-3- $\text{[math]}$ ②
x₁•x₂=2- $\text{[math]}$ ③
由②③消去m，得
（2x₁-1）（2x₂-1）=15，
∴（1） $\text{[math]}$ ，（2） $\text{[math]}$ ，（3） $\text{[math]}$ ，（4） $\text{[math]}$ ，
解得（1） $\text{[math]}$ ，（2） $\text{[math]}$ （舍去），（3） $\text{[math]}$ ，（4） $\text{[math]}$
从而得m= $\text{[math]}$ ，m= $\text{[math]}$ ，m= $\text{[math]}$ ．
分析：根据分式的性质（分母不为0）确定未知数x的取值范围；然后由根与系数的关系求得原方程的所有根；最后，将所有的整数根代入原方程并求得实数m的值．
点评：本题主要考查的是如何解分式方程：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．