Question

已知：如图，正八边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈内接于半径为R的⊙O．
（1）求A₁A₃的长；
（2）求四边形A₁A₂A₃O的面积；
（3）求此正八边形的面积S．

Answer 1

分析：（1）根据正多边形中心角求法得出∠A₃OA₂=∠A₂OA₁=

360°

8

=45°，进而得出∠A₃OA₁=90°，再利用勾股定理求出A₃A₁；
（2）利用已知得出OA₂⊥A₁A₃，得出四边形A₁A₂A₃O的面积为：

1

2

OA₂•A₃B+

1

2

OA₂•A₁B进而求出即可；
（3）利用（2）中所求即可得出正八边形的面积S为：

360

90

×

2

2

R²得出答案即可．

解答：解：（1）∵正八边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈内接于半径为R的⊙O．
∴∠A₃OA₂=∠A₂OA₁=

360°

8

=45°，
∴∠A₃OA₁=90°，
∵OA₃=OA₁=R，
∴A₃A₁=

O  A 2 3 + OA 2 1

=

2R2

=

2

R；

（2）∵∠A₃OA₂=∠A₂OA₁=45°，
∴

A3A2

=

A2A1

，
∴OA₂⊥A₁A₃，
四边形A₁A₂A₃O的面积为：

1

2

OA₂•A₃B+

1

2

OA₂•A₁B=

1

2

OA₂•A₁A₃=

1

2

R•

2

R=

2

2

R²；

（3）∵四边形A₁A₂A₃O的面积为：

2

2

R²，∠A₃OA₁=90°，
∴正八边形的面积S为：

360

90

×

2

2

R²=2

2

R²．

点评：此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，根据已知得出中心角∠A₃OA₁=90°再利用勾股定理得出是解题关键．