Question

已知二次函数y=mx2-(3m+

4

3

)x+4．
（1）请你通过计算判断：函数y=mx2-(3m+

4

3

)x+4的图象与x轴是否有交点？
（2）设函数y=mx2-(3m+

4

3

)x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，请求出点A、B、C的坐标（可用含m的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，若△ABC是等腰三角形，求二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数解析式的判别式进行判断；
（2）分别令y=0，x=0，可求点A、B、C的坐标；
（3）根据①AB=AC，B点在A点左边，②AB=AC，B点在A点右边，③当AC=BC时，④B在AC的垂直平分线上，四种情况分别求B的坐标，代入抛物线解析式求m的值，确定抛物线解析式．

解答：解：（1）∵△=（3m+

4

3

）²-16m=（3m-

4

3

）²≥0，
∴抛物线与x轴有交点；

（2）令y=0，得mx²-（3m+

4

3

）x+4=0，解得x=3或

4

3m

，
令x=0，得y=4，
∴A（3，0），B（

4

3m

，0），C（0，4）；

（3）由（2）可知AC=5，
①当AB=AC，B点在A点左边时，B（-2，0），
代入抛物线解析式，得m×（-2）²-（3m+

4

3

）×（-2）+4=0，解得m=-

2

3

，
②当AB=AC，B点在A点右边时，B（8，0），
代入抛物线解析式，得m×8²-（3m+

4

3

）×8+4=0，解得m=

1

6

，
③当AC=BC时，B（-3，0），
代入抛物线解析式，得m×（-3）²-（3m+

4

3

）×（-3）+4=0，解得m=-

4

9

，
④当B在AC的垂直平分线上时，AB=BC，
设B（x，0），
∴（x-3）²=x²+4²，
∴x=-

7

6

，
∴B（-

7

6

，0），
代入抛物线解析式，得m×（-

7

6

）²-（3m+

4

3

）×（-

7

6

）+4=0，解得m=-

8

7

，
∴二次函数解析式为：y=-

2

3

x²+

2

3

x+4或y=

1

6

x²-

11

6

x+4或y=-

4

9

x²+4或y=-

8

7

x²-+

44

21

x+4．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线解析式求A、C两点坐标，得出AC的长度，根据AC为腰，为底边分类求B点坐标．