Question

如图，已知二次函数y=0.5x²+mx+n的图象过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）求线段PC的长；
（3）设D为线段OC上的一点，且∠DPC=∠BAC，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线y=

1

2

x2+mx+n过点-A（-3，6），B（-1，0），解得，m=-1，n=-1.5，从而得到所求的抛物线解析式为y=

1

2

x2-x-

3

2

；
（2）将上题求得的解析式变形为y=

1

2

(x-1)2-2，求得顶点点P坐标为（1，-2）然后求得抛物线与x轴的交点C坐标为（3，0），过P作PM⊥x轴于M．根据P（1，-2）得到PM=2，OM=1，MC=OC-OM=2然后利用勾股定理求得PC的长即可；
（3）根据PM=MC得到∠MPC=∠MCP=45°，过点A作AN⊥x轴于N，利用A（-3，6）得到AN=6，ON=3，进一步得到CN=OC+ON=6，利用勾股定理求得AC的长，然后利用△CDP∽△CBA得到比例式

CD

CB

=

PC

AC

，将CD=3-a，PC=2

2

，BC=4，代入求得a的值后即可求得点D坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x2+mx+n过点-A（-3，6），B（-1，0），
∴

9 2 -3m+n=6 1 2 -m+n=0

解得，m=-1，n=-1.5，
∴所求的抛物线解析式为y=

1

2

x2-x-

3

2

…（3分）

（2）∵y=

1

2

(x-1)2-2
∴点P坐标为（1，-2）当y=0时，

1

2

x2-x-

3

2

=0
∴x₁=3，x₂=-1
∴点C坐标为（3，0），
过P作PM⊥x轴于M．
∵P（1，-2）
∴PM=2，OM=1
∴MC=OC-OM=2
∴PC=

PM2+MC

=

4+4

=2

2

…（8分）

（3）∵PM=MC
∴∠MPC=∠MCP=45°，
过点A作AN⊥x轴于N，
∵A（-3，6）
∴AN=6，ON=3，
∴CN=OC+ON=6，
∴AC=

AN2+CN2

=

36+36

=6

2

∵AN=CN∴∠NAC=∠NCA=45°
∴∠MCP=∠NCA=45°
∵∠DPC=∠BAC
∴△CDP∽△CBA．
∴

CD

CB

=

PC

AC

设点D坐标为（a，0）
∴CD=3-a，PC=2

2

，BC=4，AC=6

2

∴

3-a

4

=

2 2

6 2

，a=

5

3

∴点D坐标为（

5

3

，0）…（13分）

点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中用到了将点的坐标与线段的长的转化，是解决此类题目中比较关键的地方．