题目内容
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5cm，BC=12cm，CD=4cm，∠C=45°，点P从B点出发，沿着BC方向以1cm/s运动，到达点C停止，设P运动了t秒（1）当t=
5或6s
5或6s
时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形；（2）当t=
1或11s
1或11s
时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？如能，请求出t值；如不能请说明理由．
分析：（1）分AP=AB时和BP=AB时两种情况分类讨论即可得到答案；
（2）根据平行四边形对边平行且相等，分点P在点E的左边与右边两种情况，PE=AD=5，然后求出BP的长度，再根据路程、时间、速度的关系求解；
（3）根据菱形是平行四边形，对（2）中的两种情况求出DE与PD的长度，如果等于AD的长度5，则是菱形，否则不是．
（2）根据平行四边形对边平行且相等，分点P在点E的左边与右边两种情况，PE=AD=5，然后求出BP的长度，再根据路程、时间、速度的关系求解；
（3）根据菱形是平行四边形，对（2）中的两种情况求出DE与PD的长度，如果等于AD的长度5，则是菱形，否则不是．
解答：
解：（1）若AP=AB时，则t=6s；
若BP=AB时，则t=5s；
（2）如图1，①当点P在点E的左边，AD=PE时，四边形APED是平行四边形，
∵E是BC的中点，BC=12cm，
∴BE=
BC=6cm，
∵AD=5cm，
∴BP=BE-PE=6-5=1cm，
∴t=1÷1=1s；
②当点P在点E的右边，PE=AD时，四边形AEPD是平行四边形，
∵E是BC的中点，BC=12cm，
∴EC=
BC=6cm，
∵AD=5cm，
∴PC=EC-PE=6-5=1cm，
∴BP=BC-PC=12-1=11cm，
∴t=11÷1=11s；
（3）能是菱形．
如图3，过点D作DN⊥BC，垂足为N，若为菱形，必须是平行四边形，所以在（2）中两种情形中，
①四边形APED是平行四边形时，
∵CD=4cm，∠C=45°，
∴DN=4，EN=EC-CN=6-4=2，
∴DE=
=
=2
cm，
∵AD=5cm，
∴AD≠DE，
∴平行四边形APED不是菱形；
②四边形AEPD是平行四边形时，
DN=4cm，PC=1cm，
∴PN=NC-PC=4-1=3cm，
∴DP=
=
=5cm，
∵AD=DP=5cm，
∴平行四边形AEPD是菱形；
综上所述，当t=11s时是菱形．
解：（1）若AP=AB时，则t=6s；若BP=AB时，则t=5s；
（2）如图1，①当点P在点E的左边，AD=PE时，四边形APED是平行四边形，
∵E是BC的中点，BC=12cm，
∴BE=
| 1 |
| 2 |
∵AD=5cm，
∴BP=BE-PE=6-5=1cm，
∴t=1÷1=1s；
②当点P在点E的右边，PE=AD时，四边形AEPD是平行四边形，
∵E是BC的中点，BC=12cm，
∴EC=
| 1 |
| 2 |
∵AD=5cm，
∴PC=EC-PE=6-5=1cm，
∴BP=BC-PC=12-1=11cm，
∴t=11÷1=11s；
（3）能是菱形．
如图3，过点D作DN⊥BC，垂足为N，若为菱形，必须是平行四边形，所以在（2）中两种情形中，
①四边形APED是平行四边形时，
∵CD=4cm，∠C=45°，
∴DN=4，EN=EC-CN=6-4=2，
∴DE=
| DN2+EN2 |
| 42+22 |
| 5 |
∵AD=5cm，
∴AD≠DE，
∴平行四边形APED不是菱形；
②四边形AEPD是平行四边形时，
DN=4cm，PC=1cm，
∴PN=NC-PC=4-1=3cm，
∴DP=
| DN2+PN2 |
| 42+32 |
∵AD=DP=5cm，
∴平行四边形AEPD是菱形；
综上所述，当t=11s时是菱形．
点评：本题主要考查了直角梯形，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的运用，需要注意分点P在点E的左边与右边两种情况进行讨论求解．
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