Question

如图，已知∠AOB=90°，在∠AOB的外部画∠BOC，然后分别画出∠AOC与∠BOC的角平分线OM和ON．
（1）下面的两个图形是否都符合题意？若符合，选择其中的一个图形，求∠MON的度数；
（2）若∠AOB=α，且当∠AOB+∠BOC＜180°时，∠MON的度数是多少？当∠AOB+∠BOC＞180°时，∠MON的度数又是多少？

Answer 1

分析：（1）结合题意，易知两个图形都符合题意，然后根据角平分线的定义，结合图形进行计算即可；
（2）根据（1）中的结论即可发现结论．

解答：解：（1）两个图形是否都符合题意．
对于图①，有∠MON=∠MOC-∠NOC=

1

2

∠AOC-

1

2

∠AOB=45°；
对于图②，有∠MON=∠MOC+∠NOC=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOC=

1

2

（∠AOC-∠BOC）=

1

2

（360°-90°）=135°；

（2）当∠AOB+∠BOC＜180°时（如图1），
∵∠AOB=α，
∴∠AOC=α+∠BOC，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=

1

2

α+

1

2

∠BOC，∠NOC=

1

2

∠BOC
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（

1

2

α+

1

2

∠BOC）-

1

2

∠BOC=

1

2

α． 
∴∠MON=

1

2

α；
当∠AOB+∠BOC＞180°时（如图2），
∵∠AOB=α，∠AOC与∠BOC的角平分线为OM和ON，
∴∠MON=

1

2

（∠AOC+∠BOC）
=

1

2

（360°-α）
=180°-

1

2

α．
∴∠MON=180°-

1

2

α．

点评：此题综合运用了角平分线的定义和角的和差计算方法．