题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $数学公式$ 与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y₂=kx+b（k≠0）经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分．
（1）求A、B的坐标；
（2）求△ABO的面积；
（3）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．

解：（1）∵一次函数的解析式为y₁=- $\text{[math]}$ x+2，
令x=0，得y₁=2，
∴B（0，2），
令y₁=0，得x=3，
∴A（3，0）；

（2）由（1）知：OA=3，OB=2，
∴S_△ABO= $\text{[math]}$ OA•OB= $\text{[math]}$ ×3×2=3；

（3）∵ $\text{[math]}$ S_△ABO= $\text{[math]}$ ×3= $\text{[math]}$ ，点P在第一象限，
∴S_△APC= $\text{[math]}$ AC•y_p= $\text{[math]}$ ×（3-1）×y_p= $\text{[math]}$ ，
解得：y_p= $\text{[math]}$ ，
又点P在直线y₁上，
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ x+2，
解得：x= $\text{[math]}$ ，
∴P点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
将点C（1，0）、P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入y=kx+b中，有 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ．
故可得直线CP的函数表达式为y=-6x+6．
分析：（1）已知直线y₁的解析式，分别令x=0和y=0即可求出A和B的坐标；
（2）根据（1）中求出的A和B的坐标，可知OA和OB的长，利用三角形的面积公式即可求出S_△ABO；
（3）由（2）中的S_△ABO，可推出S_△APC的面积，求出y_p，继而求出点P的坐标，将点C和点P的坐标联立方程组求出k和b的值后即可求出函数解析式．
点评：本题是一道一次函数综合题，考查了一次函数的性质、三角形的面积公式及用待定系数法求解一次函数的解析式等知识点，解题关键是根据S_△APC= $\text{[math]}$ AC•y_p求出点P的纵坐标，难度中等．