题目内容
【题目】如图，在
中，
，
于点
，
于点
，以点为圆心，
为半径作半圆，交
于点
.
（1）求证：
是
的切线；
（2）若点是的中点，
，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点
是
边上的动点，当
取最小值时，直接写出
的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）
.
【解析】（1）过
作
垂线
，垂足为
，证明OM=OE即可；
（2）根据“S△AEO-S扇形EOF=S阴影”进行计算即可；
（3）作
关于
的对称点
，交于
，连接
交于
，此时
最小.通过证明
∽
即可求解
（1）过作垂线，垂足为
∵
，
∴
平分
∵
∴
∵
为⊙的半径，
∴为⊙的半径，
∴是⊙的切线
（2）∵
且
是
的中点
∴
，
，
∴
∵
∴
即
，
∴
（3）作关于的对称点，交于，连接交于
此时最小
由（2）知，
，
∴
∵
∴
，
，
∵
，
∴∽
∴
即
∵
，
∴
即
，
∴
.
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