Question

如图，在矩形ABCD中，BD=10，AD＞AB，设∠ABD=α，∠DBC=β，已知sinα、sinβ是方程25x²-kx+12=0的一个实根，点E，F分别是BC，DC上的点，EC+CF=4，设BE=x，△AEF的面积等于y．
（1）求AB•AD的值；
（2）求出y与x之间的函数关系式，并求y的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系得出sinα•sinβ=

c

a

，进而求出AB•AD的值；
（2）本题中△AEF的面积无法直接求出，可用梯形ABCF的面积-△ABE的面积-△CEF的面积来求．关键是求出AD，BC的长．即可表示出AB、BE、CE、CF的长，然后按上面所说的△AEF的面积计算方法即可求出y，x的函数关系式．

解答：解：（1）∵sinα=

AD

BD

，sinβ=

CD

BD

，BD=10，
∴sinα•sinβ=

c

a

=

AD

10

×

CD

10

=

12

25

，
∴AD×CD=48，
∴AB•AD的值为48；

（2）∵AB•AD的值为48，AB²+AD²=BD²=100，
∴（AB+AD）²-2AB•AD=100，
∴（AB+AD）²=196，
∴AB+AD=14，
∵AD＞AB，
∴AD=8，AB=6，
∵BE=x，
∴EC=8-x，FC=4-EC=x-4，DF=6-FC=10-x．
则△AEF的面积：y=8×6-

1

2

×6x-

1

2

×8（10-x）-

1

2

（8-x）（x-4）=

1

2

x²-5x+24（4＜x＜8）．

点评：本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形、图形面积的求法及二次函数的综合应用等知识点．不规则图形或无法直接求出的图形面积通常转化为规则图形的面积的和差．