Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DE⊥DF，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G．
（1）求证：AG=BF；
（2）若AE=9，BF=18，求线段EF的长．

Answer 1

分析：（1）由于D是AB的中点，AG∥BC，易证，△ADG≌△BDF，可得结论．
（2）连接EG，根据全等三角形的性质及勾股定理不难求得EF的长．

解答：（1）证明：∵D是AB的中点，
∴AD=BD．
∵AG∥BC，
∴∠GAD=∠FBD．
∵∠ADG=∠BDF，（3分）
∴△ADG≌△BDF．（4分）
∴AG=BF．

（2）解：连接EG，
∵△ADG≌△BDF，
∴GD=FD．
∵DE⊥DF，
∴EG=EF．（6分）
∵AG∥BC，∠ACB=90°，
∴∠EAG=90°．（7分）
在Rt△EAG中，
∵EG²=AE²+AG²=AE²+BF²
∴EF²=AE²+BF²且AE=9，BF=18．（9分）
∴EF=9

5

．（10分）

点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及勾股定理等相关知识的应用能力．