题目内容
如果一个正三角形与一个正六边形的面积相等，那么它们的周长之比是（ ）
| A、1：2 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
分析：根据题意画出图形，分别求出正三角形与这个正六边形的面积即可．
解答：
解：设正三角形的边长为2a，正六边形的边长为2b
（1）过A作AD⊥BC与D，则∠BAD=30°，
AD=AB•cos30°=
a，
∴S△ABC=
BC•AD=
×2a×
a=
a2；
（2）连接OA、OB，过O作OD⊥AB；
∵∠AOB=360°÷6=60°，
∴∠AOD=30°，
OD=ADtan30°=
b，
∴S△OAB=
×2b×
b=
b2，
∴S六边形=6S△OAB=6×
b2=6
b2，
∵正三角形与一个正六边形的面积相等，
∴
a2=6
b2
∴a：b=
：1．
∴周长之比为
：2，
故选C．
解：设正三角形的边长为2a，正六边形的边长为2b（1）过A作AD⊥BC与D，则∠BAD=30°，
AD=AB•cos30°=
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（2）连接OA、OB，过O作OD⊥AB；
∵∠AOB=360°÷6=60°，
∴∠AOD=30°，
OD=ADtan30°=
| 3 |
∴S△OAB=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∴S六边形=6S△OAB=6×
| 3 |
| 3 |
∵正三角形与一个正六边形的面积相等，
∴
| 3 |
| 3 |
∴a：b=
| 6 |
∴周长之比为
| 6 |
故选C．
点评：本题考查了正三角形及正六边形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，结合正多边形的性质解答．
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