题目内容
【题目】观察下面各式：
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2
22+（2×2）2+32=（2×3+1）2
32+（3×4）2+42=（3×4+1）2
……
（1）写出第2005个式子；
（2）写出第n个式子，并说明你的结论．
【答案】（1）20052+（2005×2006）2+20062=（2005×2006+1）2；（2）n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2；证明过程见解析
【解析】
试题分析：（1）根据已知的几个式子得出各数之间的关系，从而得出第2005个式子；（2）根据给出的几个式子得出一般性的规律，然后利用多项式的乘法计算法则分别求出等式左边和右边的值，从而得出规律的正确性．
试题解析：（1）当n=1时，12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
当n=2时，22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
当n=3时，32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；
……
第2005个式子即当n=2005时，有20052+（2005×2006）2+20062=（2005×2006+1）2．
（2）第n个式子为n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2．证明如下：
∵n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=n2+n2（n+1）2+（n2+2n+1）=n2+n2（n2+2n+1）+（n2+2n+1）=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1，
且[n（n+1）+1]2=[n（n+1）2]+2[n（n+1）]·1+12=n2（n+1）2+2n（n+1）+1=n2（n2+2n+1）+2n2+2n+1
=n4+2n3+n2+2n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1，
∴n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2．
