Question

如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G、F，则BG：GH：HF等于（　　）

A．1：2：3

B．3：5：2

C．5：3：2

D．5：3：1

Answer 1

分析：作FM∥BC交AE于点M，则根据△BEH∽△FMH，利用BF表示出HF的长度，作DN∥AC交BF于点N，则△BDN∽△BCF且△DNG∽△AFG，依据△BDN∽△BCF可以用BF表示出BN的长，然后依据△DNG∽△AFG表示出NG的长，则BG，GM，HF都可以利用BF表示出来，则比值即可求解．

解答：解：设BC=6a，则BD=DE=EC=2a，作FM∥BC交AE于点M，
∵F是AC的中点，
∴MF=

1

2

EC=a，
∵FM∥BC，
∴△BEH∽△FMH，
∴

HF

BH

=

MF

BE

=

a

4a

=

1

4

，则HF=

1

5

BF，
作DN∥AC交BF于点N，设AC=2b，则AF=CF=b，
∴△BDN∽△BCF，
∴

BD

BC

=

ND

CF

=

BN

BF

=

2a

6a

=

1

3

，
∴DN=

1

3

CF=

1

3

b，BN=

1

3

BF，
∵DN∥AC，
∴△DNG∽△AFG，
∴

NG

GF

=

DN

AF

=

1 3 b

b

=

1

3

，
∴NG=

1

3

GF，即NG=

1

4

NF=

1

4

（BF-BN）=

1

4

（BF-

1

3

BF）=

1

6

BF，
∴BG=

1

3

GF+

1

6

GF=

1

2

BF，
∴GM=BF-BG-HF=BF-

1

2

BF-

1

5

BF=

3

10

BF，
∴BG：GH：HF=

1

2

BF：

3

10

BF：

1

5

BF=5：3：2．
故选C．

点评：本题考查了三角形的形似的判定与性质，正确利用相似三角形的性质，利用BF把BG，GM，HF表示出来是关键．