Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，EC⊥BC，EC=BD，DF=EF．求证：AF⊥DE．

Answer 1

分析：先由等腰直角三角形的性质就可以得出∠B=∠ACB=45°，进而可以得出∠ACE=45°，就有∠B=∠ACE，就可以得出∠B=∠ACE，就有△ADB≌△ACE，就可以得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，就可以得出∠DAE=90°，得出△DAE为等腰直角三角形，由DF=EF就可以得出AF⊥DE．

解答：证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°．
∵EC⊥BC，
∴∠ECB=90°，
∴∠ACE=45°，
∴∠B=∠ACE．
在△ADB和△ACE中

AB=AC ∠B=∠ACE BD=CE

，
∴△ADB≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE．
∵∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠CAE+∠DAC=90°
即∠DAE=90°．
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰直角三角形．
∵DF=EF，
∴AF⊥DE．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．