Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：∠CDB=∠A；
（2）若BD=5，AD=12，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）先根据垂径定理得出BC=BD，再根据圆周角定理即可得出∠A=∠CDB；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式求出DE的长，根据CD=2DE即可得出结论．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴∠A=∠CDB；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AB=

AD2+BD2

=

122+52

=13．
∵

1

2

×AB×DE=

1

2

×AD×BD，即13×DE=12×5，解得DE=

60

13

，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CD=2DE=2×

60

13

=

120

13

．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知勾股定理及圆周角定理是解答此题的关键．