题目内容

(2013•门头沟区一模)已知:如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,M为AB上一点,过点M作DM⊥AB,交弦AC于点E,交⊙O于点F,且DC=DE.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)如果DM=15,CE=10,cos∠AEM=
513
,求⊙O半径的长.
分析:(1)连接OC,由OA=OC,DC=DE,利用等边对等角得到两对角相等,根据DM垂直于AC,得到一对角互余,等量代换得到∠OCD=90°,即可得到DC为圆O的切线;
(2)过D作DG垂直于AC,连接OB,利用三线合一得到G为CE中点,由CE长求出EG长,利用对顶角相等得到∠DEG=∠AEM,确定出cos∠DEG=cos∠AEM,在直角三角形DEG中,利用锐角三角函数定义求出DE的长,再利用勾股定理求出DG的长,由DM-DE求出EM的长,由一对直角相等,一对对顶角相等得到三角形AEM与三角形DEG相似,由相似得比例求出AM与AE的长,AE+EC求出AC的长,由AB为圆的直径,得到三角形ABC为直角三角形,利用锐角三角函数定义表示出cosA,即可求出AB的长,进而确定出圆的半径.
解答:(1)证明:如图,连结OC,
∵OA=OC,DC=DE,
∴∠A=∠OCA,∠DCE=∠DEC,
又∵DM⊥AB,
∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°,
∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°,
∴DC是⊙O的切线;
(2)如图所示,过D作DG⊥AC,连接OB,
∵DC=DE,CE=10,
∴EG=
1
2
CE=5,
∵cos∠DEG=cos∠AEM=
EG
DE
=
5
13

∴DE=13,
∴DG=
DE2-EG2
=12,
∵DM=5,
∴EM=DM-DE=2,
∵∠AME=∠DGE=90°,∠AEM=∠DEG,
∴△AEM∽△DEG,
AM
DG
=
EM
EG
=
AE
DE
,即
AM
12
=
2
5
=
AE
13

∴AM=
24
5
,AE=
26
5

∴AC=AE+EC=
76
5

∵AB为圆O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴cosA=
AM
AE
=
AC
AB

∴AB=
247
15

则圆O的半径为
1
2
AB=
247
30
点评:此题考查了切线的判定,以及相似三角形的判定与性质,熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.
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