Question

（2013•门头沟区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，M为AB上一点，过点M作DM⊥AB，交弦AC于点E，交⊙O于点F，且DC=DE．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）如果DM=15，CE=10，cos∠AEM=

5

13

，求⊙O半径的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由OA=OC，DC=DE，利用等边对等角得到两对角相等，根据DM垂直于AC，得到一对角互余，等量代换得到∠OCD=90°，即可得到DC为圆O的切线；
（2）过D作DG垂直于AC，连接OB，利用三线合一得到G为CE中点，由CE长求出EG长，利用对顶角相等得到∠DEG=∠AEM，确定出cos∠DEG=cos∠AEM，在直角三角形DEG中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，再利用勾股定理求出DG的长，由DM-DE求出EM的长，由一对直角相等，一对对顶角相等得到三角形AEM与三角形DEG相似，由相似得比例求出AM与AE的长，AE+EC求出AC的长，由AB为圆的直径，得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义表示出cosA，即可求出AB的长，进而确定出圆的半径．

解答：（1）证明：如图，连结OC，
∵OA=OC，DC=DE，
∴∠A=∠OCA，∠DCE=∠DEC，
又∵DM⊥AB，
∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°，
∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）如图所示，过D作DG⊥AC，连接OB，
∵DC=DE，CE=10，
∴EG=

1

2

CE=5，
∵cos∠DEG=cos∠AEM=

EG

DE

=

5

13

，
∴DE=13，
∴DG=

DE2-EG2

=12，
∵DM=5，
∴EM=DM-DE=2，
∵∠AME=∠DGE=90°，∠AEM=∠DEG，
∴△AEM∽△DEG，
∴

AM

DG

=

EM

EG

=

AE

DE

，即

AM

12

=

2

5

=

AE

13

，
∴AM=

24

5

，AE=

26

5

，
∴AC=AE+EC=

76

5

，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cosA=

AM

AE

=

AC

AB

，
∴AB=

247

15

，
则圆O的半径为

1

2

AB=

247

30

．

点评：此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．