Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）的对称轴与x轴交于点A，将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B．

⑴点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；

⑵若a＝﹣1，当m﹣1≤x≤m+1时，函数y＝ax2﹣4ax+3a﹣2的最大值为﹣10，求m的值；

⑶若抛物线与线段AB有公共点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2，0），（5，2）；（2）m的值为6或﹣2．（3）a或a≤﹣2．

【解析】

（1）利用对称轴公式可求出对称轴，即可得到A点坐标，然后利用点的平移得到B点坐标；

（2）将a＝﹣1代入抛物线解析式，将解析式整理成为顶点式，找到对称轴，然后利用函数图象的增减性进行讨论即可得出答案；

（3）分a＞0和a＜0两种情况考虑，画出抛物线与AB相交的图像，数形结合可得a的取值范围.

解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，

∴点A的坐标为（2，0）．

∵将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B，

∴点B的坐标为（2+3，0+2），即（5，2）．

故答案为：（2，0），（5，2）；

（2）∵a＝﹣1

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣5

∴，

确定出其对称轴为x＝2，由题意知最大值为﹣10，

当m﹣1＞2时，即m＞3时，

﹣（m﹣1﹣2）2﹣1＝﹣10，

解得m1＝6，m2＝0（舍去），

当m+1＜2时，即m＜1，

﹣（m+1﹣2）2﹣1＝﹣10，

解得m1＝4（舍去），m2＝﹣2．

综合以上可得m的值为6或﹣2．

（3）分a＞0和a＜0两种情况考虑：

①当a＞0时，如图1所示．

∴，

∴a；

②当a＜0时，如图2所示．

∵，

∴

∴．

综上所述：a的取值范围为或.