Question

【题目】如图，在中，，，，点、分别在，上，连接.

(1)将沿折叠，使点落在边上的点处，如图1，若，求的长；

(2)将沿折叠，使点落在边上的点处，如图2，若.

①求的长；

②求四边形的面积；

(3)若点在射线上，点在边上，点关于所在直线的对称点为点，问：是否存在以、为对边的平行四边形，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①；②；(3)存在，或6.

【解析】

（1）先判断出S△ABC=4S△AEF，再求出AB，判断出Rt△AEF∽△Rt△ABC，得出，代值即可得出结论；
（2）先判断出四边形AEMF是菱形，再判断出△CME∽△CBA得出比例式，代值即可得出结论；
（3）分两种情况，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，最后用勾股定理即可得出结论．

解：(1)∵沿折叠，折叠后点落在上的点处，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在中，∵，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即：，

∴；

(2)①∵沿折叠，折叠后点落在边上的点处，

∴，，，

∴，∴，

∴，

∴四边形是菱形，

设，则，，

∵四边形是菱形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，，

即：，

②由①知，，，

∴；

(3)①如图3，当点在线段上时，

∵与是平行四边形的对边，

∴，，

由对称性知，，，

∴，

设，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，，

∴，，

在中，，

∴，

∴，

即：；

②如图4，当点在线段的延长线上时，延长交于，

同理：，，

在中，，

∴，

∴，

∴，

即：或6.