Question

【题目】（1）已知：如图1，△ABC中，分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF，直线AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q．判断线段EP、FQ的数量关系，并证明；

（2）如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，线段AD的垂直平分线交线段AD于点M，交BC于点N，若EP⊥MN于P，FQ⊥MN于Q．（1）中结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）EP、FQ的数量关系是相等，理由见解析；（2）成立，理由见解析

【解析】

(1)由正方形的边角关系可证△FQA≌△ANC,则FQ ＝ AN;同样可证△EPA≌△ANB,则EP＝ AN，从而得出EP＝ FQ;

(2)过D作PN的平行线分别交FQ、BC于点K、I,由AAS可证△FKD≌△DIC则QK ＝ DM,

FQ＝DM＋MN,同理可得，EP＝AM＋MN,再由MN为AD中垂线,得出AM＝ MD ,从而证出EP＝ FQ .

（1）EP、FQ的数量关系是相等．

证明：∠QFA＝90°﹣∠FAQ＝∠CAN，

在△FQA与△ANC中，

，

∴△FQA≌△ANC（AAS），

∴FQ＝AN；

同理△EPA≌△ANB，

∴EP＝AN，

∴EP＝FQ；

（2）答：（1）中的结论依然成立．理由如下：

过D作PN的平行线分别交FQ、BC于点K、I．

∵∠KFD＝90°﹣∠FDK＝∠CDI，

在△FKD与△DIC中，

∴△FKD≌△DIC（AAS），

∴FK＝DI，

∴FQ＝FK+KQ＝DI+DM＝DM+MN；

同理可得，EP＝AM+MN，

又∵MN为AD中垂线，

∴AM＝MD，

∴EP＝AM+MN＝DM+MN＝FQ．