Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=8，直线y=

1

2

x+3与x轴、y轴分别交于E和F，D是CB的中点，G是线段EF（包括端点）上的一点，且GH⊥AB．
（1）由已知可得，点D的坐标为

 

；
（2）设点G的横坐标为x，四边形GHBD的面积为S，求S关于x的函数表达式，并注明x的取值范围；
（3）①若点G在直线EF上移动，是否存在这样的点G，使D、C、G三点构成的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；
②若点G在线段EF上移动，求当以GD为直径的⊙M与AB相切时，四边形GHBD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的长、宽及D为BC的中点，直接写出D点坐标；
（2）由已知得G（x，

1

2

x+3），由于x＜0，所以BH=8+x，BD=2，HG=4-（

1

2

x+3）=-

1

2

x+1，根据梯形的面积公式求S的表达式；
（3）①根据GD=GC，GD=DC，CG=CD三种情况，利用线段相等及勾股定理，列方程求解；
②M为DG的中点，根据中点坐标公式得M（

x-8

2

，

1 2 x+3+2

2

），即M（

x-8

2

，

1

4

x+

5

2

），根据4-（

1

4

x+

5

2

）=

1

2

DG，列方程求x，把x的值代入S的表达式中求S．

解答：解：（1）点D的坐标为（-8，2）；

（2）S=

1

2

（BD+HG）•BH=

1

2

（3-

1

2

x）（8+x），即S=-

1

4

x²-

1

2

x+12，（-6≤x≤0）；

（3）①
1）若GD=GC，则

1

2

x+3=1，解得x=-4，
∴G₁（-4，1），
2）若DG=DC，则（x+8）²+（

1

2

x+1）²=4，
∵△＜0，
∴此方程无实根；
3）若CG=CD，则（x+8）²+（

1

2

x+3）²=4，
∴5x²+76x+276=0，x₁=-6，x₂=-9.2，
G₂（-6，0），G₃（-9.2，-1.6），
∴G点坐标为（-4，1），（-6，0），（-9.2，-1.6），；
②∵M（

x-8

2

，

1

4

x+

5

2

），
∴4-（

1

4

x+

5

2

）=

1

2

(x+8)2+( 1 2 x+1)2

，
∴x²+20x+56=0，
∴x=-10±2

11

（舍去负值），
∴S=-

1

4

x²-

1

2

x+12=9

11

-19．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据矩形的边长求相关点的坐标，根据梯形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理求解．