Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中能判断出是△ABC直角三角形的有（　　）
（1）∠A：∠B：∠C=3：4：5；  
（2）a：b：c=13：5：12； 
（3）a=10，b=11，c=12；
（4）a²+b²+c²+50=6a+8b+10c；
（5）（a+c）²=b²+2ac；
（6）∠A-∠B=∠C．

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,三角形内角和定理

专题：

分析：（1）设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可判断出三角形的形状；
（2）、（3）直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（4）利用一次项的系数分别求出常数项，把50分成9、16、25，然后与（a²-6a）、（b²-8b）、（c²-10c）分别组成完全平方公式，再利用非负数的性质，可分别求出a、b、c的值，然后利用勾股定理可证△ABC是直角三角形；
（5）把等式左边展开，根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（6）根据题意可得∠A-∠B-∠C=0，再由∠A+∠B+∠C=180°即可得出∠A的度数，进而得出结论．

解答：解：（1）∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，5x=15×5=75°，
∴此三角形是锐角三角形，故本小题错误；
（2）∵5²+12²=13²，
∴是直角三角形，故本小题正确；
（3）∵10²+11²≠12²，
∴此三角形不是直角三角形，故本小题错误；
（4）∵a²+b²+c²+50=6a+8b+10c，
∴a²-6a+9+b²-8b+16+c²-10c+25=0，即（a-3）²+（b-4）²+（c-5）²=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∵3²+4²=5²，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
（5）∵原式可化为：a²+c²+2ac=b²+2ac，即a²+c²=b²，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
（6）∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A-∠B-∠C=0①，
∵∠A+∠B+∠C=180°②，
∴①+②得，2∠A=180°，解得∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确．
故选C．

点评：本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．