Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。

（1）求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

Answer 1

解：（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC， ∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余， ∴∠1=∠2， ∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC， ∴△BAD≌△CBE， ∴AD=BE； （2）∵E是AB中点， ∴EB=EA， 由（1）AD=BE得：AE=AD， ∵AD∥BC， ∴∠7=∠ACB=45°， ∵∠6=45°， ∴∠6=∠7， 由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE， 即，AC是线段ED的垂直平分线； （3）△DBC是等腰三角（CD=BD）， 理由如下：由（2）得：CD=CE， 由（1）得：CE=BD， ∴CD=BD， ∴△DBC是等腰三角形。