Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A、B为反比例函数的图像上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将的图像绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A’，B点的对应点为B’．

（1）点A’的坐标是　　 ，点B’的坐标是　　 ；

（2）在x轴上取一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标． 此时在反比例函数的图像上是否存在一点Q，使△A’B’Q的面积与△PAB的面积相等，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AB’，动点M从A点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t值．若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）(4，﹣1)，(1，﹣4)；（2）存在，；（3）存在，8﹣8

【解析】

（1）利用旋转的性质即可解决问题；

（2）由题意A和B′关于x轴对称，B和A′关于x轴对称，连接BB′交x轴于P，连接AP，此时PA+PB的值最小，因为直线BB′的解析式为，根据A′B′的解析式得到p点的坐标，最后利用面积相等求出PQ的解析式，解方程组即可得到答案；

（3）分两种情形分别求解即可解决问题；

解：（1）∵点A、B为反比例函数的图像上两点，

A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，

∴得到：A（1，4），B（4，1），

根据旋转的性质可知（4，-1），（1，-4）；
故答案为（4，-1），（1，-4）；

（2）∵A（1，4），B（4，1），根据旋转的性质可知（4，-1），（1，-4），
∴A和关于x轴对称，B和关于x轴对称，
连接BB′交x轴于P，连接AP，此时PA+PB的值最小，

∵直线BB′的解析式为，

∴P（，0），

过点P作PQ∥A′B′交y＝于Q，如图

∴S△PA’B’＝S△QA’B’，

∴直线PQ的解析式为y＝x﹣，

根据，消去y得到：，

解得或者（舍去）

∴点Q的横坐标为.

（3）如图：

①当时，，

∴8﹣t＝t，

∴解得：t＝8﹣8．

②当时，

∴t＝（8﹣t），

∴解得：t＝16﹣8（不合题意），

综上，t＝()s时，是等腰直角三角形．