题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A、B为反比例函数
的图像上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将的图像绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A’，B点的对应点为B’．
（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ；
（2）在x轴上取一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标． 此时在反比例函数的图像上是否存在一点Q，使△A’B’Q的面积与△PAB的面积相等，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AB’，动点M从A点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t值．若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）(4，﹣1)，(1，﹣4)；（2）存在，
；（3）存在，8
﹣8
【解析】
（1）利用旋转的性质即可解决问题；
（2）由题意A和B′关于x轴对称，B和A′关于x轴对称，连接BB′交x轴于P，连接AP，此时PA+PB的值最小，因为直线BB′的解析式为
，根据A′B′的解析式得到p点的坐标，最后利用面积相等求出PQ的解析式，解方程组即可得到答案；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；
解：（1）∵点A、B为反比例函数
的图像上两点，
A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，
∴得到：A（1，4），B（4，1），
根据旋转的性质可知
（4，-1），
（1，-4）；
故答案为（4，-1），（1，-4）；
（2）∵A（1，4），B（4，1），根据旋转的性质可知（4，-1），（1，-4），
∴A和关于x轴对称，B和关于x轴对称，
连接BB′交x轴于P，连接AP，此时PA+PB的值最小，
∵直线BB′的解析式为，
∴P（
，0），
过点P作PQ∥A′B′交y＝
于Q，如图
∴S△PA’B’＝S△QA’B’，
∴直线PQ的解析式为y＝x﹣，
根据
，消去y得到：
，
解得
或者
（舍去）
∴点Q的横坐标为.
（3）如图：
①当
时，
，
∴8﹣t＝t，
∴解得：t＝8﹣8．
②当
时，
∴t＝（8﹣t），
∴解得：t＝16﹣8（不合题意），
综上，t＝(
)s时，
是等腰直角三角形．
