Question

（2013•锦州）如图，抛物线y=-

1

8

x²+mx+n经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C在x轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标；
（2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，令y=0解方程，求出点C的坐标；
（2）如答图1所示，由△CEF∽△COA，根据比例式列方程求出OE的长度；
（3）如答图2所示，若△DMN是等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论；
（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图3所示．利用S=S_{正方形DEFG}-S_梯形MEDN-S_△FJK求出S关于t的表达式，然后由二次函数的性质求出其最值．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

1

8

x²+mx+n经过点A（0，3），B（2，3），
∴

n=3 - 1 8 ×22+2m+n=3

，
解得：

m= 1 4 n=3

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

8

x²+

1

4

x+3．
令y=0，即-

1

8

x²+

1

4

x+3=0，
解得x=6或x=-4，
∵点C位于x轴正半轴上，
∴C（6，0）．

（2）当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，如答图1所示：

设OE=x，则EF=x，CE=OC-OE=6-x．
∵EF∥OA，
∴△CEF∽△COA，
∴

EF

OA

=

CE

OC

，即

x

3

=

6-x

6

，
解得x=2．
∴OE=2．

（3）存在满足条件的t．理由如下：
如答图2所示，

易证△CEM∽△COA，∴

ME

OA

=

CE

OC

，即

ME

3

=

4-t

6

，得ME=2-

1

2

t．
过点M作MH⊥DN于点H，则DH=ME=2-

1

2

t，MH=DE=2．
易证△MNH∽△COA，∴

NH

OA

=

MH

OC

，即

NH

3

=

2

6

，得NH=1．
∴DN=DH+HN=3-

1

2

t．
在Rt△MNH中，MH=2，NH=1，由勾股定理得：MN=

5

．
△DMN是等腰三角形：
①若DN=MN，则3-

1

2

t=

5

，解得t=6-2

5

；
②若DM=MN，则DM²=MN²，即2²+（2-

1

2

t）²=（

5

）²，
解得t=2或t=6（不合题意，舍去）；
③若DM=DN，则DM²=DN²，即2²+（2-

1

2

t）²=（3-

1

2

t）²，解得t=1．
综上所述，当t=1、2或6-2

5

时，△DMN是等腰三角形．

（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图3所示：

设EF、DG分别与AC交于点M、N，由（3）可知：ME=2-

1

2

t，DN=3-

1

2

t．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B（2，3）、C（6，0）代入得：

2k+b=3 6k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b= 9 2

，
∴y=-

3

4

x+

9

2

．
设直线BC与EF交于点K，
∵x_K=t+2，∴y_K=-

3

4

x_K+

9

2

=-

3

4

t+3，
∴FK=y_F-y_K=2-（-

3

4

t+3）=

3

4

t-1；
设直线BC与GF交于点J，
∵yJ=2，
∴2=-

3

4

x_J+

9

2

，得x_J=

10

3

，
∴FJ=x_F-x_J=t+2-

10

3

=t-

4

3

．
∴S=S_{正方形DEFG}-S_梯形MEDN-S_△FJK
=DE²-

1

2

（ME+DN）•DE-

1

2

FK•FJ
=2²-

1

2

[（2-

1

2

t）+（3-

1

2

t）]×2-

1

2

（

3

4

t-1）（t-

4

3

）
=-

3

8

t²+2t-

5

3

．
过点G作GH⊥y轴于点H，交AC于点I，则HI=2，HJ=

10

3

，
∴t的取值范围是：2＜t＜

10

3

．
∴S与t的函数关系式为：S=-

3

8

t²+2t-

5

3

（2＜t＜

10

3

）．
S=-

3

8

t²+2t-

5

3

=-

3

8

（t-

8

3

）²+1，
∵-

3

8

＜0，且2＜

8

3

＜

10

3

，
∴当t=

8

3

时，S取得最大值，最大值为1．

点评：本题是典型的运动型二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、勾股定理、图形面积计算、最值问题等知识点，考查了运动型问题、存在型问题和分类讨论的数学思想，难度较大．解题关键是理解图形的运动过程．