Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=-

2

3

x+2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y₂=kx+b（k≠0）经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分．
（1）求△ABO的面积；
（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．

Answer 1

分析：（1）已知直线y₁的解析式，分别令x=0，y=0求出A，B的坐标，继而求出S_△ABO．
（2）由（1）得S_△ABO，推出S_△APC的面积为

3

2

，求出y_p=

3

2

，继而求出点P的坐标，依题意可知点C，P的坐标，联立方程组求出k，b的值后求出函数解析式．

解答：解：（1）在直线y1=-

2

3

x+2中，令x=0，得y₁=2，
∴B（0，2），
令y₁=0，得x=3，
∴A（3，0），
∴S△ABO=

1

2

AO•BO=

1

2

×3×2=3；

（2）

1

2

S△ABO=

1

2

×3=

3

2

，
∵点P在第一象限，
∴S△APC=

1

2

AC•yp=

1

2

×(3-1)×yp=

3

2

，
解得yp=

3

2

，
而点P又在直线y₁上，
∴

3

2

=-

2

3

x+2，
解得x=

3

4

，
∴P（

3

4

，

3

2

），
将点C（1，0）、P（

3

4

，

3

2

），代入y=kx+b中，有

0=k+b 3 2 = 3 4 k+b

，
∴

k=-6 b=6

．
∴直线CP的函数表达式为y=-6x+6．

点评：本题考查的是一次函数的性质以及三角形面积的综合运用，难度中等．