Question

如图：已知点P是⊙O 外一点，PA是⊙O的切线，切点为点A，连接PO并延长交⊙O于点C、B．
（1）如果PB=3PC，求∠P的度数；
（2）如果PB=m•PC，∠P=45°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）连接OA，则OA⊥PA．根据已知条件易得OP=2OA，从而求得∠P的度数；
（2）如果∠P=45°，那么△AOP是等腰直角三角形．设半径为x，分别表示PB、PC，得方程求解．

解答：解：（1）连接OA．（1分）
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即△OAP是直角三角形．（1分）
∵PB=PC+CO+BO，
PB=3PC，BO=CO，
∴PC=CO．（1分）
又PO=PC+CO，
∴PO=2OC．
∵OA=OC，
∴PO=2OA．（1分）
∴∠P=30°．（1分）

（2）由（1）得△OAP是直角三角形．
∵∠P=45°，
∴∠AOP=45°．
∴OA=PA．（1分）
设OA=x，则OB=OC=PA=x．
根据勾股定理得：PO=

2

x．
∴PB=PO+BO=

2

x+x，（1分）
PC=PO-OC=

2

x-x．（1分）
∵PB=m•PC，
∴

2

x+x=m•(

2

x-x)，（1分）
∴m=3+2

2

．（1分）

点评：此题考查切线的性质及等腰直角三角形的性质，涉及二次根式的计算，综合性较强．