Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据弦切角定理和切线的性质可得∠CBE=∠A，∠ABD=90°，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，即可得∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BD=BE，根据等腰三角形的性质可得∠BCE=∠CBE=∠A，即可证出∠ACO=∠BCE，所以∠BCE+∠BCO=90°，即CE⊥OC，所以CE是⊙O的切线；（2）由勾股定理求出AB的长，再由三角函数得出tanA==，求出BD=AB=，即可得出CE的长．

试题解析：（1）证明：连接OC，如图所示：

∵BD是⊙O的切线，

∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，

∵E是BD中点，

∴CE=BD=BE，

∴∠BCE=∠CBE=∠A，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠A，

∴∠ACO=∠BCE，

∴∠BCE+∠BCO=90°，

即∠OCE=90°，CE⊥OC，

∴CE是⊙O的切线；

（2）解：∵∠ACB=90°，

∴AB=，

∵tanA==，

∴BD=AB=，

∴CE=BD=．