Question

如图，已知在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．

Answer 1

证明；（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=AC，
∵EA=EC，
∴EO⊥AC，
即BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）∵∠1=∠EAD+∠AED，∠DAC=∠EAD+∠AED，
∴∠1=∠DAC，
∴AO=DO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2AO，DB=2DO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形．
分析：（1）首先根据平行四边形的性质可得AO=CO=AC，再由EA=EC可得△EAC是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一的性质可得DO⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证出结论；
（2）首先根据角的关系证明AO=DO，进而得到AC=BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结论．
点评：此题主要考查了菱形的判定与正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．