Question

x2+2x+2

+

(x-2)2+16

的最小值为

34

．

Answer 1

分析：先把原式化为

(x+1)2+1

+

(2-x)2 +42

的形式，再根据勾股定理构造出图形，利用两点之间线段最短的方法即可求出代数式的最小值．

解答：解：原式=

(x+1)2+1

+

(2-x)2 +42

，
构造图形，AB=3，BD⊥AB，AC=1，BD=4，PA=x+1，PB=2-x，
PC=（x+1）²+1²，PD=（2-x）²+4²，
由对称性可知，PC+PD的最小值为PE+PD=DE=

EF2+DF2

=

32+(1+4)2

=

34

．
故答案为：

34

．

点评：本题考查了利用轴对称-最短路径的知识求解无理函数的最值，利用勾股定理构造出图形是解答此题的关键，有一定的技巧性．