Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．

（1）求m的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α﹣β）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题；开放型．

【分析】（1）根据题意与图象可得点C的坐标，根据圆的性质可得点B的坐标，根据对称轴方程与点B的坐标即可求得函数的解析式；

（2）由抛物线的解析式可求得点A，E，B，C，D的坐标，判断Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，因此sin（α﹣β）=sin（∠DBC﹣∠OBD）=sin∠OBC=；

（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P₁（0，0），

过A作AP₂⊥AC交y正半轴于P₂，由Rt△CAP₂∽Rt△BCE，得P₂（0，），

过C作CP₃⊥AC交x正半轴于P₃，由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0），

故在坐标轴上存在三个点P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．

【解答】解：（1）由题意可知C（0，﹣3），﹣=1，

∴抛物线的解析式为y=ax²﹣2ax﹣3（a＞0），

过M作MN⊥y轴于N，连接CM，则MN=1，CM=，

∴CN=2，于是m=﹣1．

同理可求得B（3，0），

∴a×3²﹣2a×3﹣3=0，得a=1．

∴抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣3．

 

（2）由（1）得A（﹣1，0），E（1，﹣4），B（3，0），C（0，﹣3）．

∵M到AB，CD的距离相等，OB=OC，

∴OA=OD，

∴点D的坐标为（0，1），

∴在Rt△BCO中，BC==3，

∴，

在△BCE中，∵BC²+CE²=（3²+3²）+[（1﹣0）²+（﹣4+3）²]=20=（3﹣1）²+（0+4）²=BE²∴△BCE是Rt△

，

∴，

即，

∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，

因此sin（α﹣β）=sin（∠DBC﹣∠OBD）=sin∠OBC=．

 

（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P₁（0，0）．

过A作AP₂⊥AC交y正半轴于P₂，

由Rt△CAP₂∽Rt△BCE，得P₂（0，）．

过C作CP₃⊥AC交x正半轴于P₃，由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0）．

故在坐标轴上存在三个点P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0），

使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．

【点评】此题考查了二次函数与圆的知识的综合应用，要注意分析图形，应用相似三角形的性质与判定，要注意数形结合思想的应用．