题目内容
如图（1），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F，AB=4，BC=6，∠B=60°。
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x。
①当点N在线段AD上时（如图（2）），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图（3）），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x。
①当点N在线段AD上时（如图（2）），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图（3）），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。
| 解：（1）如图（1），过点E作EG⊥BC于点G ∵E为AB的中点， ∴  ，在Rt△EBG中，∠B=60°， ∴∠BEG=30°， ∴  ， ，即点E到BC的距离为 ； |
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| （2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变， ∵PM⊥EF，EG⊥EF， ∴PM∥EG， ∵EF∥BC， ∴EP=GM，PM=EG=  ，同理，MN=AB=4，如图（2）， 过点P作PH⊥MN于H， ∵MN∥AB， ∴∠NMC=∠B=60°，则∠PMH=30°， ∴  ，则  ，∴MH=PM·cos30°=  ，在Rt△PNH中，  ，∴△PMN的周长=PM+PN+MN=  ；②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形，当PM=PN时，如图（3） 作PR⊥MN于R，则MR=NR， 类似①，  ，∴MN=2MR=3， ∵△MNC是等边三角形， ∴MC=MN=3， 此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2， 当MP=MN时，如图（4）， 这时MC=MN=MP=  ，此时．x=EP=GM=6-1-  =5- ，当NP=NM时，如图（5），∠NPM=∠PMN=30°， 则∠PNM=120°，又∠MNC=60°， ∴∠PNM+∠MNC=180°， 因此点P与F重合，△PMC为直角三角形， ∴MC=PM·tan30°=1， 此时，x=EP=GM=6-1-1=4， 综上所述，当x=2或4或  时，△PMN为等腰三角形。 |
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