题目内容

将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转a角（0°∠a∠90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，在AE上取点N，使∠MCN=90°．设AC=2，△MNC的面积为S_△MNC，△ABC的面积为S_△ABC．
（1）求证：MN∥DE；
（2）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，
①当直线AD与⊙N相切时，试S_△MNC与S_△ABC之间的关系；
②S_△MNC与S_△ABC之间满足怎样的关系时，试探求直线AD与⊙N的各种位置．

（1）证明：∵∠MCN=90°，∠BAC=90°，
∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=∠NCA，
∵∠BAM=∠CAN，
∴△ABM∽△ACN，
∴AM：AB=AN：AC，
∵AB=AD，AE=AC，
∴AM：AD=AN：AE，
∴MN∥DE，

（2）解：①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，
∵△ABM∽△ACN，
∴BM：CN=AB：AC，AM：AN=MB：NC，
∴AM=MB，
∵∠BAC=90°，
∵∠B=30°，
∴∠α=30°，∠AMC=60°，
∵AC=2，
∴BC=4，AB=2 $\text{[math]}$ ，
∵BM：CN=AB：AC，
又∵∠ACB=90°-30°=60°，
∴△AMC是等边三角形，
∴AM=MC=AC=2，
∴MB=2，
∵BM：CN=AB：AC，
∴CN= $\text{[math]}$ ，
∴S_△MNC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•AC=2 $\text{[math]}$ ，
∴S_△MNC= $\text{[math]}$ S_△ABC，
②若S_△MNC= $\text{[math]}$ S_△ABC时，探求直线AD与⊙N的各种位置，
设BM=x，
∴S_△MNC= $\text{[math]}$ MC•NC= $\text{[math]}$ •2 $\text{[math]}$ ，
∵BM：CN=AB：AC，
∴CN= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （4-x）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴解得x=1或x=3．
（i）当x=1时，
在Rt△MNC中，MC=4-x=3，
∴MN²=NC²+MC²，
∴MN= $\text{[math]}$ ，
∵MN∥DE，
∴AN：AE=MN：DE，
∴AN= $\text{[math]}$ ，
∵CN= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，即AN＞NC，
∴直线AD与⊙相离．
（ii）当x=3时，
∴NC=3，
在Rt△MNC中，MC=4-3=1，
∴MN=2，
∵MN∥DE，
∴AN：AE=MN：DE，
∴AN=1，
∵3＞1，
∴NC＞AN，
∴直线AD与⊙相交．
分析：（1）由题意推出∠B=∠NCA，通过求证△ABM∽△ACN，根据对应边成比例，通过等量代换推出AM：AD=AN：AE，即可得MN∥DE，（2）①当直线AD与⊙N相切时，利用AN=NC，通过求证△ABM∽△ACN，确定出CN，MC的值后，即可推出S_△MNC与S_△ABC之间的关系；②首先确定若S_△MNC= $\text{[math]}$ S_△ABC时，探求直线AD与⊙N的各种位置，设BE=x，根据题意求出x的值，然后讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系．
点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式，直角三角形的性质、圆与直线的位置关系、切线的性质等知识点的综合运用能力，关键在于运用了分类讨论的思想进行分析、通过求证相关三角形相似，推出对应边成比例，熟练运用等量代换、认真求出相关线段的长度．