Question

6．如图，已知等腰梯形ABCD的面积为4k，点A的坐标是（x₁，0），点B的坐标是（x₂，1），点A、B在直线y=$\frac{1}{k}$x-1（k＞0，k是不为0的常数）上，经过A、B、C、D四点的抛物线y=ax²+bx+c，它的顶点在直线y=（n-3）x+3-n上，
（1）求A、B、C、D的坐标；
（2）求抛物线的解析式（用含k的式子表示）；
（3）求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建全等三角形，由平行线的距离相等得：CE=BF，证明Rt△CED≌Rt△BFA（HL），得ED=AF；根据直线y=$\frac{1}{k}$x-1求出A、B两点的坐标，则AF=2k-k=k，由等腰梯形ABCD的面积求OD和CG的长，表示出C、D两点的坐标；
（2）先根据交点式设抛物线的解析式为：y=a（x+2k）（x-k），把B点的坐标代入可求得解析式；
（3）根据（2）中的解析式求出顶点坐标，代入直线y=（n-3）x+3-n可求得结论．

解答 解：（1）分别过B、C作x轴的垂线，垂足分别为F、E，
当y=0时，$\frac{1}{k}$x-1=0，
x=k，
∴A（k，0），
∴OA=k，
当y=1时，$\frac{1}{k}$x-1=1，
x=2k，
∴B（2k，1），
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，AD∥BC，且A、D在x轴上，
∴BC⊥y轴，
∴BG=2k，
∴AF=OF-OA=2k-k=k，
∵AD∥BC，
∴CE=BF，
∵∠CED=∠AFB=90°，
∴Rt△CED≌Rt△BFA（HL），
∴ED=AF=k，
即CG-OD=DE=k，
∵等腰梯形ABCD的面积为4k，
∴$\frac{1}{2}$（AD+BC）×OG=4k，
∵OG=1，
∴$\frac{1}{2}$（AD+BC）=4k，
AO+OD+BG+CG=8k，
∴OD+CG=5k，
∴CG=3k，OD=2k，
∴D（-2k，0），C（-3k，1）；
综上所述，A（k，0），B（2k，1），D（-2k，0），C（-3k，1）；
（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+2k）（x-k），
把B（2k，1）代入得：1=a（2k+2k）（2k-k），
a=$\frac{1}{4{k}^{2}}$，
∴y=a（x+2k）（x-k）=$\frac{1}{4{k}^{2}}$（x²+kx-2k²）=$\frac{{x}^{2}}{4{k}^{2}}$+$\frac{x}{4k}$-$\frac{1}{2}$；
（3）y=$\frac{1}{4{k}^{2}}$（x²+kx-2k²）=$\frac{1}{4{k}^{2}}$（x+$\frac{k}{2}$）²-$\frac{9}{16}$；
顶点为：（-$\frac{k}{2}$，-$\frac{9}{16}$），
∵该抛物线的顶点在直线y=（n-3）x+3-n上，
∴（n-3）$•（-\frac{k}{2}）$+3-n=-$\frac{9}{16}$，
解得：k=$\frac{\frac{57}{8}-2n}{n-3}$，
∵k＞0，
∴$\frac{\frac{57}{8}-2n}{n-3}$＞0，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{57}{8}-2n＞0}\\{n-3＞0}\end{array}\right.$   或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{57}{8}-2n＜0}\\{n-3＜0}\end{array}\right.$，
解得：3＜n$＜\frac{57}{16}$．

点评 本题考查了等腰梯形的性质、利用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数和二次函数的性质等，本题运用的知识点较多，有难度，属于字母系数的函数关系；把函数和四边形、三角形的证明结合在一起，注意点的坐标特征和线段的关系．